Fractal y el conjuto de Mandelbrot

Definición: Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito.

Lo desubrió propuesto el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y significa quebrado o fracturado. Pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes

características:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es auto-similar (exacta o estadísticamente).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

El conjunto de Mandelbrot, es el fractal más estudiado, y se define así:

• Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción:

Aplicando ésta sucesión sale ésta solución:

En la imagen, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión:

• En rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto
• En blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo.

Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los P primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de P se mejora la precisión de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x² + y² > 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |z_n| 2 para estar seguro que c no está en el conjunto.

La propiedad fundamental de los fractales es una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.