En la universidad ya son bastantes las veces que nos han hablado o nombrado a Riemann y su hipótesis (la más conocida) así que he pensado poneros un poco al corriente de que se trata esta hipótesis, explicado de una forma vulgar para que lo pueda entender todo el mundo.

La hipótesis de Riemann es un problema en las matemáticas que está actualmente sin resolver. Es más, se ofrecen sumas bastante importantes de dinero por su resolución. (Se ha ofrecido un premio de US$1.000.000 por el Instituto Clay de Matemáticas para el que descubra una demostración.)

Para explicarla, primero veremos algunos conceptos de base.

1. Los números complejos. Seguro que alguna vez has oído la pregunta ¿cual es la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo, cual es la raíz de -1? Bien, pues en las matemáticas la solución sería: (-1)^1/2 = i. (La raíz cuadrada de -1 es i)
   1. Una forma mejor de verlo es representándolo, en el eje horizontal ponemos los números reales y en el eje vertical (Y) ponemos los número imaginarios. Así tendríamos el plano complejo.
   2. Cada número complejo se puede representar de la forma a+bi. Para los números reales, tomamos simplemente b=0.
2. Las funciones. En matemáticas, una función es una caja negra, en la que cuando ponemos un número en ella, ésta nos devuelve otro número (explicación vulgar ya lo dije arriba)
   1. Las funciones las representamos generalmente con la letra f. De tal modo que si queremos que nuestra variable sea “x”, la función se escribiría de la forma “f(x)”.
   2. En la mayorí­a de los casos hay una manera conveniente de expresar el f(x) en términos de x. Por ejemplo, el f(x)=x², que es una función muy simple. Para cualquier x que pongamos dentro, conseguiremos x². Por tanto algunos resultado serían: f(1)=1. f(2)=4. f(3)=9. Etcétera.
   3. Seguramente estarás más familiarizado con las funciones que devuelven números reales. Ponemos un número real como “x” y conseguimos un número real al hallar la función. Sin embargo, no hay nada que nos impida poner estos números complejos “extraños” en una función. Por ejemplo, si el f(x)=x² y nosotros decimos que x=i, que es la raí­z cuadrada de menos uno que mencionaba arriba, entonces obtendremos f(i)=-1. Esto es justamente el principio de que se conoce más generalmente como funciones complejas - donde se puede poner cualquier número complejo a+bi dentro y conseguir (potencialmente) cualquier número complejo como resultado.
3. La función de Riemann, que llamaremos Zeta es justamente una función compleja. “Zeta” es una letra griega se escribe así: “ζ”. Para cualquier número complejo a+bi, tenemos que ζ(a+bi) será otro número complejo, c+di. La hipótesis de Riemann es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s). La descripción real de la función de Zeta se complica demasiado y es aburrida para explicar aquí­.

Pero dando una pincelada gracias a la wikipedia, podríamos decir que la función Zeta de Riemann ζ(s) está definida para todos los números complejos s ≠ 1 y posee ciertos ceros “triviales” para s = −2, s = −4, s = −6, … La conjetura de Riemann hace referencia a los ceros no triviales afirmando:

• La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2.

Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica 1/2 + i t donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemman, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.

Fuentes de información | Conocimientos propios y 1, 2, 3, 4 (la mayoría en inglés)

Notas del autor:

Dado que no tengo mucho tiempo de releer lo escrito puede haber errores, así que si encontráis alguno, dejarlo en los comentarios. Esta explicación es muy básica pero puede ayudar a entrar en la idea de la Hipótesis de Rieman.